최단 경로 알고리즘

# 최단 경로 문제

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

# 다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다. 따라서 현실 길찾기 알고리즘이라 할 수 있다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하여 임의의 과정을 반복한다.
• 동작 과정
  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

- 동작 과정 예시

  1. 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정

  2. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.

  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

  4. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.

  5. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.

  6. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.

  7. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.

 

- 다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.
• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

- 간단한 구현 방법

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in rnage(n + 1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c, = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True

    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True

        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]

            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('INFINITY')
    
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

- 다익스트라 알고리즘 성능 분석

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다. 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)이다.
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드를 문제로 해결할 수 있다.

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# 우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
• Python에서 heapq라는 표준 라이브러리로 구현할 수 있다.

 

- 힙(heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에 사용된다.
• 힙은 내부적으로 트리구조를 사용한다.

 

- 최소 힙 구현 코드

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []

    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

• 기본적으로 최소 힙(min heap) 방식으로 구현되어 있어 우선순위가 낮은 순위부터 꺼내지게 된다.

 

- 최대 힙 구현 코드

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []

    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

• 별도로 최대 힙을 제공하지 않기 때문에 '-' 부호를 붙여서 구현한다.

 

# 힙(Heap) 구조를 이용한 다익스트라 알고리즘

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
• 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 사용한다.
• 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

 

- 동작 과정 예시

  1. 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다.

  2. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

  3. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

  4. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

  5. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

  6. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

  7. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

  8. 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.

 

- 힙 구조를 이용한 다익스트라 알고리즘 구현 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in rnage(n + 1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c, = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)

        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue

        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧을 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('INFINITY')
    
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

- 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogN)이다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
• 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
  • O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV) <2는 빅오 표기법에 의해 제거될 수 있다.>

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# 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
• 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
• 삼중 반복문을 사용하므로 시간 복잡도는 O(N^3)이다. 따라서 노드의 개수와 간선의 개수가 적을 때 주로 사용한다.
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다. a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.

 

- 동작 과정 예시

  1. 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다.

  2. 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

  3. 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

  4. 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

  5. 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

 

- 플로이드 워셜 알고리즘 구현 코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력 받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용은 c라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in ragne(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행한 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print('INFINITY', end=' ')
        
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()

• 보통 문제에서 노드의 개수는 500개를 넘어가지 않는다.

 

- 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.
• 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

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# 연습문제1

- 문제 설명

• 어떤 나라에 N개의 도시가 있다. 그리고 그 도시는 보내고자 하는 메세지가 있는 경우 다른 도시로 전보를 보내서 해당 메세지를 전송할 수 있다.
• 하지만 전보를 보내기 위해서는 도시 사이에 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 도시 A에서 B로 향하는 통로는 있지만, B에서 A로 향하는 통로가 없다면 B에서 A로 메세지를 보낼 수 없다.
• 또한 통로를 거쳐 메세지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
• C라는 도시에서 위급 상황이 발생하여 최대한 많은 도시로 메세지를 보내고자 할 때, 도시 C에서 보낸 메세지를 받게 되는 도시의 개수와 도시들이 모두 메세지를 받는 데까지 걸리는 시간을 구하시오.
• 조건 : 풀이 시간 60분 / 시간제한 1초 / 메모리 제한 128MB
• 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메세지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다. N은 1이상 30,000이하, M은 1이상 200,000이하, C는 1이상 N이하의 자연수이다.
• 둘째 줄부터 M+1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 x, y, z가 주어진다. 이는 특정 도시 x에서 다른 도시 y로 이어지는 통로가 있으며, 메세지가 전달되는 시간이 z라는 의미이다.

 

- 해결 포인트(아이디어)

• 핵심 아이디어 : 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있다.
• N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘을 구현한다.

 

- 모범 답안

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하며, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 경로 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)

        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0

# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0

for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count-1을 출력
print(count-1, max_distance)

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#  연습문제2

- 문제 설명

• 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
• 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
• 방문 판매원 A는 K번 회사와 X번 회사에 물건을 판매하려고할 때, K번 회사를 먼저 방문한 뒤 X번 회사로 가는 것이 목표이다. 이때 방문 판매원 A가 이동하게 되는 최소 시간을 구하시오.
• 조건 : 풀이 시간 40분 / 시간제한 1초 / 메모리 제한 128MB
• 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. N과 M은 1이상 100이하의 자연수이다.
• 둘째 줄부터 M+1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다. M+2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. K는 1이상 100이하의 자연수이다.
• 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

 

- 해결 포인트(아이디어)

• 핵심 아이디어 : 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
• N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있다.
• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답 판정을 받을 수 있다.

 

- 내 풀이 & 모범 답안

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())

# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력 받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in ragne(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행한 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= INF:
	print('-1')
    
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
	print(distance)

 

- 고찰

• 어느 정도 정해진 유형이므로 최단 경로 구하기 문제를 많이 풀어보면서 감을 익혀야 한다.
• 풀이법에 익숙해지면 응용하는 문제로 넘어가보자!